第四百九十九章 KAM定理（非线性力学） (第1/2页)

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柯尔莫哥洛夫对阿诺德说：“我开始想关于n体力学的问题，我们未来在研究动力学系统的时候，必须要面对这个严肃的问题。”

阿诺德说：“n体问题属于不可积分的难题，只能寻求级数解。换言之，这类系统无法根据初始条件求出描述系统未来确定性行为的精确解。力学系统一般说来不可积分，可积分系统只是极少的特例，并指出共振项可能影响级数的收敛性。”

柯尔莫科洛夫说：“我们要研究弱不可积系统问题。”

阿诺德说：“哈哈，柿子捡软的捏。”

柯尔莫哥洛夫说：“在扰动较小也可以说非线性程度比较小、V足够光滑、离开共振条件一定距离等三个条件下，对于绝大多数初始条件，弱不可积系统的运动图像与可积系统基本相同。”

阿诺德说：“在满足一定条件下近可积系统绝大多数解是规则的，其相轨迹被限制在一个由n个运动不变量决定的n维环面上，该环面与可积系统的环面相比有微小的变形，但拓扑结构不变，称为不变环面；确切些说，相空间分成大小两组体积非零的区域。”

柯尔莫哥洛夫说：“在大区域中仍然保持着与可积系统类似的环面结构；也有一些“随机”解，但被限制在环面之间，成为“随机”层。”随机二字打上引号表示并非真正的随机，而是因为系统的性态随初值的敏感而呈现混乱，这仍然是混沌现象的决定性的表现

阿诺德说：“因此，近可积系统与可积系统的解相差不多，这时确定性与“随机性”共存。”

柯尔莫哥洛夫说：“当然，随着摄动的加大，上述条件受到破坏，我说的这个不再适用。分隔相邻“随机”层的环面将逐个破裂，“随机”层也相应变大，这时系统的所有可能解中大部分都是混沌解。”

阿诺德说：“轨道的不稳定性是力学系统运动中出现随机性、不可预言性和混沌的原因。”

Kolmogorov 在1954年世界数学家大会上指出：非退化的可积系统在保守的微小扰动后，虽然某些不变环面一般说来会被扰动破坏掉（称为共振环面），但仍会有相当多的环面被保存下来，也就是说整个相空间中仍然有许多的相流的运动是非常简单的（直观地，可以想象二维平面虽然没有被同心圆分层，但仍有许许多多的同心圆保存了下来，每个圆上的相流都共扼于一个旋转，只是相邻的两个同心圆之间相流的运动会比较复杂一些）。

阿诺德后来与德国数学家moser也开始通信讨论这个问题。