第三百三十四章 戴德金原理和定理（微积分） (第1/2页)

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在对有理数集q利用戴德金分割构造实数之前，先给出一个引理：任意两个有理数之间，必然存在无数个有理数。

引理非常容易证明，设a和b是两个有理数，那么它们的算术平均值c=(a+b)\/2也必然是有理数并且c一定介于a和b之间。

戴德金定理是刻画实数连续性的命题之一，也称实数完备性定理。

它断言，若A|A'是实数系R(即有理数集的所有戴德金分割的集合，并以明显的方式定义了大小顺序及四则运算)的戴德金分割，则由它可确定惟一实数β，若β落在A内，则它为A中最大元，若β落在A'内，则它是A'中最小元。

这个定理说明，R的分割与全体实数是一一对应的，反映在数轴上，它又说明，R的分割不再出现空隙，因此，这个定理可用来刻画实数的连续性。

数学家发现了除数字以外的各种形式的数学，有各种群、环、域、模等各种重要的结构。所以数学家不可避免的要反思，数字，也就是实数是怎样的一种系统，是否在以上的分类中有严格性。或者有什么样的特殊性，或者是否是一个好的例子。

戴德金开始跟黎曼和狄利克雷等人讨论过关于实数系统的严谨性。

戴德金对狄利克雷说：“你让我去看看实数是否符合对应的群、环、域、模这种结构，那就需要挨个去看看他们的严格性。那么我们要对这个看似简单，但是却有点精彩而复杂的系统进行梳理的时候。”

狄利克雷说：“没错，这是迟早的，也是有意义的。我们定义了自然数、整数、有理数、无理数这些东西，但是我们并不是真正的了解它，因为他们的严格性有待商榷。用了这么久，也该看看这些都是什么样子了。”

戴德金说：“其中最为关键的，是一个看似简单，但是却麻烦重重的有理数和无理数的区分方式。因为他们都掺杂的连续的在数轴上，我们需要有一个理论，能够让这些东西进行区分。”

狄利克雷说：“是的他们的混杂，是如此的连绵不绝，却有膈应的无穷。”

戴德金说：“我已经找到了一种分割的方式，能够证明实数是完备的。”

狄利克雷说：“可以保证数轴直线的连续性？如何分割？”

戴德金说：“如果把直线的所有点分成两类，使得：每个点恰属于一个类，每个类都不空。然后，第一类的每个点都在第二类的每个点的前面，或者在第一类里存在着这样的点，使第一类中所有其余的点都在它的前面；或者在第二类里存在着这样的点，它在第二类的所有其余的点的前面。”