第208章 真正的十全十美哈 (第2/2页)

如果弦的势能仅在两端固定时为无穷大，则势能算子（potential energy operator）为： [ \\hat{V} = 0 \\quad (0 ＜ x ＜ L) ] [ \\hat{V} = \\infty \\quad (x \\leq 0, x \\geq L) ]

薛定谔方程为： [ i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial t}\\psi(x,t) = \\hat{h}\\psi(x,t) ] 其中，Ψ(x,t)是波函数，t是时间，\\hat{h}是哈密顿算符，它是动能和势能算符的和： [ \\hat{h} = \\hat{t} + \\hat{V} ]

在势阱内部，薛定谔方程简化为： [ i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial t}\\psi(x,t) = -\\frac{\\hbar^2}{2\\mu}\\frac{\\partial^2}{\\partial x^2}\\psi(x,t) ]

这是一个时间依赖的偏微分方程，其解可以写成时间和空间的分离形式： [ \\psi(x,t) = \\psi(x)e^{-iEt\/\\hbar} ] 其中，ψ(x)是时间独立的波函数，E是能量本征值。

将这个形式代入薛定谔方程，得到时间独立部分的薛定谔方程： [ - \\frac{\\hbar^2}{2\\mu}\\frac{d^2}{dx^2}\\psi(x) = E\\psi(x) ]

这是一个二阶常微分方程，其解为： [ \\psi_n(x) = A_n\\sin\\left(\\frac{n\\pi x}{L}\\right) ] 其中，n是一个正整数，代表弦的振动模式，A_n是归一化常数。

能量本征值为： [ E_n = \\frac{n^2\\pi^2\\hbar^2}{2\\mu L^2} ]

因此，一维无界弦的振动模式可以用正弦波的线性组合来表示： [ \\psi(x,t) = \\sum_{n=1}^{\\infty}A_n\\sin\\left(\\frac{n\\pi x}{L}\\right)e^{-iE_nt\/\\hbar} ]

通过归一化条件可以确定系数A_n，确保波函数的总概率为1。

而它的频率计算为：

一维无界弦的振动频率可以通过其能量本征值来计算。根据量子力学中的薛定谔方程，一维无限深势阱问题的能量本征值由以下公式给出： [ E_n = \\frac{n^2\\pi^2\\hbar^2}{2\\mu L^2} ] 其中，( E_n )是第n个能级的能量，( n )是量子数（正整数），( \\hbar )是约化普朗克常数，( \\mu )是弦的线密度（质量除以长度），( L )是弦的长度。

振动频率 ( f_n )与能量本征值 ( E_n )之间的关系由以下公式给出： [ f_n = \\frac{E_n}{h} ] 其中，( h )是普朗克常数。

将能量本征值的表达式代入上述频率公式，我们得到： [ f_n = \\frac{n^2\\pi^2\\hbar^2}{2\\mu L^2h} ] 因为 ( \\hbar = \\frac{h}{2\\pi} )，所以可以将 ( \\hbar )替换为 ( \\frac{h}{2\\pi} )，从而得到： [ f_n = \\frac{n^2\\pi}{2\\mu L^2} ]

这就是第n个振模式的频率。需要注意的是，这里的频率是角频率，单位是弧度每秒（rad\/s）。如果要转换为周期性频率（单位是赫兹，hz），我们只需将角频率除以 ( 2\\pi )： [ f_n(\\text{hz}) = \\frac{n^2\\pi}{2\\mu L^2} \\times \\frac{1}{2\\pi} = \\frac{n^2}{2\\mu L^2} ]

因此，一维无界弦的第n个振模式的频率（以hz为单位）为： [ f_n = \\frac{n^2}{2\\mu L^2} ]。

这家伙就是这样利用了薛定谔的猫，让薛老头顿悟出了举世属目的波动方程，它是跟猫有着多么大的仇恨哈，死磕到底的节奏哈。所以它也继承了薛老头的科学技术并运用到它的日常生活的方方面面。猫捉耗子这个千载难逢的机会被它反转的彻彻底底，薛家猫到死都不知道怎么死的哈。