第四百零三章 希尔伯特零点定理（多项式） (第1/1页)

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希尔伯特零点定理（hilbert's Nullstellensatz）是古典代数几何的基石，它给出了域 k 上的 n 维仿射空间中的代数集与域 k 上的 n 元多项式环的根理想的一一对应关系，此外，它的一个较弱版本给出了仿射空间中的点与多项式环的极大理想之间的一一对应关系，由此建立了代数和几何之间的联系，使得人们可以用交换代数的手段研究几何问题。

希尔伯特说：“群只有一种运算，就是乘法。”

希尔伯特说：“而环有两种运算，就是加法和乘法。”

路人甲说：“那什么结构是环呢？”

希尔伯特说：“多项式就是环，里面既有乘法，也有加法。当然加法满足交换律，乘法满足结合律，也要满足分配律。符合这个条件的，就算做环的结构了。”

路人甲说：“你的意思是，你打算要用研究环的思想来研究多项式吗？”

希尔伯特说：“没错，直接研究环的性质，就可以对多项式这个看着比较繁琐的东西，要相对简单一些了。”

路人甲说：“何以看出有这种简单性？”

希尔伯特说：“从环论中得出理想的概念，会发现更仿射空间子集有一个对应关系。”

路人甲说：“仿射空间是点和向量的集合。仿射空间子集是对坐标轴的一个变化是吗？”仿射空间，又称线性流形，是数学中的几何结构。这种结构是一种特殊的线性空间，是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。

希尔伯特点头道：“没错。”