第三百四十五章 哈密顿发现辛几何（辛几何） (第2/2页)

叫他们xm，ym和zm。现在你有六个坐标：三个代表位置，三个代表动量。

这六个坐标定义了一个新的六维空间中的点。

他的六维空间是一个辛结构空间的例子，因为它可以进行面积测量。

这就是它的工作原理。

在空间中的每一点上都可以画出六个“矢量”，或者有向箭头，它们对应着行星在矢量所指向的维度上的方向或动量。

因为两个向量可以定义一个平行四边形——一个有面积的二维空间——我们可以取空间中的两个向量来测量一个面积。

但是为了确保它是一个非零的数字，你必须选择特定的一对向量:那些表示沿着同一轴的方向和动量的向量。

不匹配的向量，如z方向向量与y动量向量配对，形成面积为零的平行四边形。

这些成对向量也反映了辛空间的另一个重要性质，即它们与复数的内在联系。这些数字包括i，即?1的平方根，它们采用a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部。

定义六维辛空间的一种方法是用三个复数，每个复数的两个部分提供两个坐标。

这两部分也对应于我们配对测量面积的两个向量。

因此，对于每个点，基于x的方向和动量向量（例如）不仅提供了测量面积的方法，而且构成了定义空间的三个复数之一。

这种关系反映在辛的名称中，辛来自希腊语单词sumplektikos，相当于基于拉丁语的“plex”，这两个词都意味着“编织在一起”——这让人联想到辛结构和复数相互交织的方式。

这也是辛空间吸引数学家想象力的主要原因之一。

辛几何研究是一种保持辛结构，保持面积测量不变的空间变换。

这允许在您可以使用的转换类型方面有一定的自由，但不是太多。

因此，辛几何占据了一种介于防水布的松散拓扑和帐篷的刚性几何之间的中间位置。

维持辛结构的转换类型被称为哈密顿异型。

但是，尽管汉密尔顿发现了辛空间的第一个例子，接着数学家开始思考在与物理世界无关的几何空间中，辛现象会是什么样子。

数学家总是喜欢推广，所以我们可能会说，‘如果我们生活在八维空间而不是三维空间，经典力学会是什么样子?

从20世纪60年代开始，弗拉基米尔·阿诺德(VladimirArnold)就提出了几个有影响力的猜想，这些猜想抓住了辛空间比普通拓扑空间(比如松软的球面)更具刚性的具体方式。

其中一个被称为阿诺德猜想，它预测了哈密顿方程的异态具有数量惊人的“固定”点，这些点在变换过程中不会移动。

通过研究它们，你可以知道是什么使辛空间不同于其他的几何空间。

20世纪80年代末，一位名叫安德烈亚斯·弗洛尔(AndreasFloer)的数学家提出了一种名为弗洛尔同构的理论，这是一种强有力的框架，是数学家现在研究辛现象的主要方法。

它使用了被称为伪全纯曲线的对象，这种曲线以迂回的方式允许数学家计算不动点，并确定它们的某个最小数目是辛空间固有的。

物理学符号也是人类解释世界的工具，而不能把物理学理解为客观世界的本质！

Gromov，Arnold，Sindel，Eliashberg都是辛几何传奇，达布定理是辛几何第一个定理

结构和量化，它们互相成就！这画面太美，已延续400年