第二百九十七章 卡塔朗猜想（数论） (第2/2页)

Jacobi ， c. G. J.没听明白说：“没懂你的意思。”

卡塔朗说：“比如说4的5次方和5的4次方就不是两个连续的数字了。而且之后也找不到这种类型的连续的数。”

Jacobi ， c. G. J.恍然大悟的说：“没错，估计是找不到了，因为后面的数字这样的转换，相差的会很大，而且是越来越大了。”

卡塔朗说：“也不知道这样的猜想是不是真正正确的，应该证明一下。如果是不挣钱的，也看看能不能发现其中的其他规律。”

卡塔朗写出了方程x的m次方减去y的n次方等于一，如果是x，y，m，n都是整数，就只有（x，y，m，n）=(3，2，2，3)这个一种解。

后来1986 年，Shorey 和 tijdeman 将 catalan 猜想扩展到了有理数的范围，提出了如果x，y属于有理数，x>0，y>0，m，n属于整数N，m>1，n>1，mn>4。仅有有限多组解(x，y，m，n)。

这个称之为广义卡塔朗猜想。

由于该猜想与着名的广义 Fermat 猜想有直接的联系，所以这是一个很有意义但又非常困难的问题，目前仅解决了一些极特殊的情况。例如，vander poorten证明了：对于给定的 S 集合，即由有限多个素数经乘法生产的正整数的集合，广义卡塔朗猜想仅有有限多组解（x，y，m，n）可使x和y都是S整数，即分母是该S集合中元素的有理数。

1844 年，catalan曾经猜测：正整数8和9是唯一的两个连续的完全方幂。